1.必备基础（要点提示）
要学好本章节，需先夯实以下基础：
1)各种常见函数的概念、表示方法、性质、图像、作用等所有知识（基础知识）；
2)各种常见函数相关的所有基本问题及其一般求解方法与技巧（基本技能）；
3)导数相关的概念、几何意义、运算方法、作用等所有知识（基础知识）。
2.基本问题说明
与导数相关的基本问题有：
1)求平均变化率–求平均变化率(如平均速度)；
2)求瞬时变化率-求某点的瞬时变化率（即该点的导数值）；
3)求导(函)数-利用求导公式和导数的四则运算，求导(函)数；
4)求切线方程–利用导数，求曲线的切线方程；
5)判定函数单调性–利用导数，求解函数的零点以及单调区间；
6)判定函数极值(点)–利用导数及其零点，求出极值(点)；（再结合区间端点，可求得最值）；
7)判定导数图像与原函数图像的关系–给出导函数的图像，选择对应的原函数的图像；给出原函数的图像，选择对应导函数的图像；
8)求定积分。
提示：在实际中，很多时候（多见于参数问题中）需‘逆用’上述基本问题的求解一般方法来解题。不管是顺用还是逆用，这些题目的所涉及的基本问题在本质上是一样的，二者的区别仅在于是由因执果还是由果索因。为了避免重复，下面以顺用的情形为例进行阐述。
3.解决基本问题的一般方法
1)求平均变化率(如平均速度)
紧扣定义，即(一个区间内函数值变化量y)/(区间长度x)，其中x可正可负。
2)求瞬时变化率（或导数值）
提示：不要忘记确认函数的可导条件，即在x0处有定义、连续、光滑（无尖，左右极限相等。
求解一般方法如下：
3)求导(函)数
①熟记常见函数的导数公式
②熟练掌握导数的四则运算；
③熟练掌握复合函数的求导方法-由外而内，每层各自求导，再求它们的乘积。
4)求切线方程
紧扣“两个等量关系”，在切点未知时常先预设切点坐标(x0,y0)作为待定量，然后列式求解：
①切点处的导数值=切线斜率；
②切点在原函数和切线方程上。
提示：特别留意这类基本问题的不同设问方式的差别。如“以函数上某点为切点的切线方程”、“过函数上某点的切线方程”、“过不在函数上的某点的前线方程”等等，这里所列的后两种情况可能存在多解。
提示：当函数式中包含函数本身的因子（类似抽象函数）时，既可先把f(x)的函数式先导推出来（如果可以的话），也可以直接对该函数式直接求导，然后整理、化简来得到导函数。
5)判定函数单调性
a)求单调区间一般方法
①确定定义域
②求零点
先求出f′(x)；再令f′(x)=0，先求出其所有零点；
③划分区间
把函数f(x)的间断点——即f(x)的无定义点的横坐标以及上面所得各零点按由小到大的顺序排列起来；然后以这些点为界，把函数f(x)的整个定义域划分为若干个小的(半)开区间(画图或表)；
④判定各(半)开区间的单调性
先确定f′(x)在各个开区间内的符号；再由此判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
b)除了直接通过导数求函数单调区间这种最简单、最基本题型，其它问题如值域、最值、参数范围等也常常与函数单调性密切相关。
c)划分各单调区间并确定其单调性，（从代数角度而言）实质上就是解导函数不等式，然后获得原函数单调区间。因此：
①证明某单调性结论，实质上就是要证明某导函数不等式成立。
②已知某单调性结论(恒)成立，实质就是已知相应的导函数不等式成立，然后通过该不等式求其参数的范围。
d)如果单调区间不止一个，用“和”连起来，而不能用“并”。
6)判定函数极值或最值
a)求极值一般方法
①确定定义域
②求零点
先求出f′(x)；再令f′(x)=0，先求出其所有零点；
③根据f(x)各零点两侧导数值的符号，判定每个零点：是否为极值点；若是，是极大值点还是极小值点。
b)求最值的一般方法
①先按上述方法求出极值点与极值；
②求函数定义域的两个端点的函数值；
③综合①和②之结果，所有值中最大的那个为最大值，最小的那个为最小值。
7)判定导数与原函数图像之间的关系
a)要领
①原函数图像看增减，导函数图像看正负
②原函数图像极值点对应导函数零点；反之未必。
b)一般方法
①已知导函数时，先找出零点，即找出了原函数的极值点（拐点除外）；然后以零点为界划分区间，根据每个区间导函数值得正负性，可得出原函数对应区间的单调性。
②已知原函数时，先找出极值点，即定位出导函数的零点；再结合极值点附近图像趋势，推断出零点附近导函数的正负，即可方便地求解问题。
提示：除了用以直接解题，导数还可用来快速、准确地勾画出原函数图像——用以辅助思考、分析和解答复杂、困难题目。
8)求定积分（所学教材不含这部分内容的同学可跳过此节及后文的有关例题）
提示：熟记常见被积函数与原函数的对应关系（见基础知识）
a)求定积分的一般方法
①定义法：利用定义求定积分——即求‘和式’的极限。一般情况下,定义法求定积分比较困难。
但是，若可对积分区间采取特殊分法及对区间中的分点采取特殊取法，则可使定义中的和式极限变得容易求解，从而得出定积分的值。
②微积分定理：这是常用的便利方法。利用微积分定理即牛顿-莱布尼茨公式求定积分的步骤如下：
(a)把被积函数变换为常见幂函数、指数函数、正弦函数、余弦函数与常的和或差形式（注：而所求的定积分即为这些常见函数定积分的和或差）；
(b)根据求导公式，找出各常见函数的原函数；
(c)利用牛顿-莱布尼茨公式求各常见函数的定积分；
(d)各常见函数定积分的和、差，即为所求定积分。
③几何法：利用被积函数的特殊几何特性，可直接通过求出其面积来得出定积分。
b)分段函数的定积分
求分段函数求定积分时，先求出每一段函数的定积分，再求和。
c)绝对值函数的定积分
先根据绝对值的性质找到分界点；再逐段讨论和分析以掉绝对值符号，即可化为分段函数；再按分段函数的一般方法求解定积分。
提示:若还含有参数，则还需就参数进行分类讨论。
d)奇偶函数的定积分
利用定积分的几何意义可知有：
4.典型例题
1)题型：求平均变化率（或平均速度）的值
例1求y=f(x)=2x^2+1在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率,并求当x0=1,△x=1/2时的平均变化率的值。
2)题型：求瞬时变化率或导数的值、求导数
例1．已知f(x)=x^2（x≤1）与f(x)=ax+b（x1）在x=2出可导，则a=___,b=___。
讲解：
①解题要领：紧扣导数概念，抓住可导条件，可知在可导处有定义、连续且光滑（即无尖且左右极限相等），由此列式可解这类题。
例2.已知f(x)在x=a处可导，且f’(a)=b,求极限：
讲解：
①区间长度x：导数定义式中的区间长度x是一种表示差的方法，其形式非唯一，可根据求解的便捷性进行转化。
②除x的本质(理解)：按定义式求导数时，分母除x，其本质是“分子差多少、分母除多少”。
③本题中，根据导数概念及本质，结合f(x)在x=a处可导且导数已知的条件，可将原极限式变换为可方便地利用已知导数进行求解的极限式形式。这是此类题目的常用思路与技巧之一。
例3等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f(0)=___。
解：设等比数列的公比为q，依题意有q^7=2；
解法1：f(x)展开后，各加项求导，因所求为x=0处的导数f(0)，所以只剩下
一次项系数，即f(0)=a1a2…a8
=q^28×a1^8
=2^12。
解法2：令g(x)=(x-a1)(x-a2)……（x-a8)，则,
f(x)=g(x)+xg(x)，
因所求为x=0处的导数f(0)，所以：
f(x)=g(x),
即：
f(0)=g(0)=a1a2…a8=2^12。
讲解：
①本题的两种解法都是处理类似连乘求导情况的一般方法：或者展开后求和式的导数（=导数和），或者利用公式对连乘式进行直接求导。
②本题的解题关键是“特殊值x=0”的应用技巧——依此可对解题过程中的移行、变换进行简化。
如果不是求f(0)，而是f(a)呢？类似地，可把(x-a)那一项单独拿出来，其它剩余部分看作整体，这样就可以按类似思路来简明地求解了。万变不离其宗！
例4．求函数y=ln[x+√(4+x^2)]的导数。
解：根据复合函数的有关求导方法，即‘每层函数各自求导，再求它们的乘积’，可知：
讲解
①本题为复合函数求导的典型示例，其一般求导思路为：每层函数各自求导，再求它们的乘积。
②提示：当熟练掌握复合函数的方法与技巧后，可直接写出求导结果，而不必像本题那样分步书写解答过程。
3)题型：求切线方程
例1曲线y=2(x^3)/3-7x+2/3在x=2处的切线方程为（）。
解：依题意y=2x^2–7，
当x=2时，y=-8；y=1，此即为切线方程的斜率，
所以所求切线方程为y=x–10。
讲解：
①当点在曲线上时，只需求出该点的导数（即斜率），再利用点斜式即得切线方程。
例2与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x^2的切线方程是（）。
解（导数法）：依题意，切线斜率为2，
又因抛物线的导数为y=2x，
∴2x=2，即x=1为切点横坐标，
∴当x=1时，y=1，即切点为（1,1），
∴所求切线方程y=2x–1。
讲解：
①导数法：已知斜率时，利用它与导数的关系可求得切点；再利用点斜式即得切线方程。
②非导数法：本题中，由于切线斜率已知，所以也可利用斜截式把切线方程假设出来，再联立它与抛物线方程即可得到一元二次方程，最后利用判别式=0可算出截距，即得切线方程。
例3过曲线y=x^3+2x线上一点（1,3）的切线方程是（）。
解：依题意，y=3x^2+2；令切点为(x0,(x0)^3+2x0)，则切线方程为：
y–(x0)^3-2x0=[3(x0)^2+2](x–x0),
又切线过（1，3）点，所以有：
3–(x0)^3-2x0=[3(x0)^2+2](1–x0)，
整理得：2(x0)^3–3(x0)^2+1=0，
解得x0=1或x0=-1/2，即切点为(1,3)或(-1/2，-9/8)。
∴所求切线方程为：
5x–y–2=0或11x–4y+1=0。
讲解：
①不同于例1，在解答本题时，准确理解“过曲线上某点的切线方程”的完整意思——既可能在该点处相切（自然经过它），也可能在别处相切当经过该点，是解题的关键！
其原因在于本题所给曲线并非是2次，而是高次（最高次2时，存在多曲可能）。如图为本题结果的示意图，同学们可以直观地感受一下。
提示：“勤于思考、乐于动手、善于总结”中的乐于动手也包括乐于画图。有些同学尤其基础稍差的同学，若对‘求过某点切线方程’理解不到位或经常漏掉解，则可以画一下图（1-2次既可），直观地感受一下，我相信你再也不会忘记了。
②切点未知（且切线斜率也未知即不是常数）时，常用待定切点法来求解
(a)设切点坐标(x0,y0);
(b)利用导数，可用切点坐标把切线方程的斜率表示出来;
(c)利用点斜式可得到以切点坐标表示的切线方程；
(d)由切点坐标在曲线上且经过已知点，可得到两个方程；
(e)联立两个方程既可求出切点坐标，进而得到切线方程。
例4求过点P(1,0）且与曲线y=1/x相切的直线方程是（）。
解：依题意，点P不再曲线上，且有y=-1/x^2；
令切点为(x0,1/x0)，则切线方程为：
y–1/x0=[-1/(x0)^2](x–x0),
又切线过（1，0）点，所以有：
0–1/x0=[-1/(x0)^2](1–x0)，
整理得：2x0-1=0，
解得x0=1/2，即切点为(1/2，2)。
∴所求切线方程为：
4x+y–4=0。
讲解：
①本题为已知点不在曲线上（注：要记得先判定点与曲线间的位置关系）。其解法与上一例题基本类似——利用待定切点法。区别仅在于本题的已知点不可能为切点！
4)题型：判定或求解函数单调性、极值与最值
例1求下列函数的单调区间，
(1)f(x)=x(x-1)(x-2)；
(2)f(x)=sinx-cosx+x+1,x∈(0,2π)
解：依题意，
讲解：
①本例题的两小题示例了利用导数求单调区间的一般方法（注：两小题的解答过程看上去不一样，但其本质是一样的）。
②务必熟练掌握求解函数单调区间一般方法，因为这是解决很多函数问题——如值域、零点、参数等问题的关键基础技术之一。
例2求函数e^x/(x-2)的单调区间。
解：依题意可知x≠2,
例3若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f(x)的极值点。已知a,b是实数，1和-1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数g’(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点。
解：(1)因为f(x)=x^3+ax^2+bx，
所以f(x)＝3x^2＋2ax＋b，依题意有：
f′(-1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝-3,
经检验，当a＝0，b＝-3时，1和－1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点．
综上，所求的a和b的值分别为0、-3。
所以x＝-2是函数g(x)的极小值点，即所求函数g(x)的极值点为x=-2。
讲解：
①熟记极值性质：已知某点为极值点，则该点处导数=0（反过来未必成立！）
②极值点需满足同时两条件：1)导数为0；2)该点左右的导数值异号！
例4已知函数f(x)=(x-k)e^x，求：
（1）f(x)的单调区间；
（2）f(x)在区间[0，1]上的最小值。
解：(1)f’(x)=(x-k+1)e^x,
令(x-k+1)e^x0，则xk-1，
∴所求f(x)单调区间为：
f(x)单调递减区间为(-∞，k-1)；
f(x)单调递增区间为(k-1，+∞)。
（2）由(1)可知，函数f(x)在x=k-1处为最小值点；
当k-10时，f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以最小值为：f(0)=-k；
当0≤k-1≤1时，最小值为：f(k-1)=-e^(k-1)；
当k-11时，f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以最小值为：f(1)=(1-k)e；
讲解：
①求解最值问题的两个要点
(a)确定极值点与区间端点之间的位置关系。含参数时需分类讨论二者之间的各种可能位置关系。
(b)确定各极值点与区间两端点的值之间的大小关系。不要忘了考虑端点的值。
5)题型：判定导数与原函数图像之间的关系
例1(浙江)函数y=f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的图像可能是()。
解：本题已知导函数图像，如下图：
对于导函数图像，首先要分别划分出大于0和小于0的区间，如上图：
在xa区间上，导函数小于0，则函数单调递减；
在(a,b)区间上，导函数大于0，则函数单调递增；
在(b,c)区间上，导函数小于0，则函数单调递减；
在xc区间上，导函数大于0，则函数单调递增；
∴整体上，f(x)图像从左到右依次是先递减、接着递增、再接着递减、最后递增，因此，只有B和D是这种模型；又因f’(x)的零点x=b0，所以准确答案为D。
讲解：
①求解这类题的一般方法
(a)已知导函数时，先找出零点，即找出了原函数的极值点；
(b)然后以零点为界划分区间；
(c)再依据每个区间导函数值的正负性，可得出原函数对应区间的单调性，进而可确定原函数曲线的整体趋势或走势；
(d)最后依据导函数零点（即原函数极值点）的位置可进一步判定原函数的图像特征。
例2如果函数y=f(x)的图象如下图所示，那么导函数y=f′(x)的图象可能是()。
解：本题给出了导函数图像，如下图：
首先识别出原函数的图像走势（从左到右）为递增→递减→递增→递减，对应的导函数依次为正→负→正→负，所以只有选项A符号要求，即正确答案为A。
而且，还可找出原函数的极值点A和B——两点对应导函数上的零点，可验证选修A也符合此特征。
讲解：
①已知原函数时，先识别出图像的整体走势特征、找出极值点的大致位置、个数等特征，既可方便地求解词类问题。
6)题型：求定积分
讲解：
①本题为求解分段函数的定积分问题。根据定积分的可加性性质，可分别求函数各段的定积分，然后再求这些定积分之和即可。
②提示：一个含有绝对值的函数，一般也可转化为分段函数去求解。
例3设抛物线C：y=x^2与直线l：y=1围成的封闭图形记为P，则图形P的面积S等于()。
解：如图，
（提示：规则图形与曲线所围面积之差）
讲解：
①利用定积分求平面图形面积的一般方法
(a)根据题意画出图形；
(b)根据图形，确定被积函数；
(c)找出或求出交点坐标，确定积分上、下限；
(d)列出面积求解表达式，其中曲线所围面积以定积分方式表示；
(e)利用微积分基本定理计算出定积分，进而求出所求面积。
②提示：有些题目会反过来进行题设——已知图形面积，而要求求解某个参数的值或范围。这类题的实质是“利用定积分求平面图形面积”的逆用，所以仍需以积分法列出面积表达式，然后根据已知和题意，解方程或不等式即可。
③提示：由于“面积”是几何概型题型中常见的一种，因此有时把利用定积分求面积与求概率综合出题。这与其它面积类的几何概型差别在于求解面积的对象（即含曲线–常规几何方法无法求解）、方式或方法。
例4一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+25/(1+t)(t的单位为s，v的单位为m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离是()（单位为m）。
A．1+25ln5B．8+25ln(11/3)C．4+25ln5D．4+50ln2
解：依题意，‘紧急刹车后行驶至停止’意指汽车速度降为0，
讲解：
①利用定积分，可解决变速直线运动、变力做功等物理问题。一般方法为：
(a)先确定或求出物体做变速直线运动的速度与时间、变力与位移等物理量之间的函数关系；
(b)确定积分区间，列出积分表达式；
(c)根据微积分基本定理，求解结果。
例5弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx(k是常数,x是伸长量)。求弹簧从平衡位置拉长b所做的功？
解：依题意有：
讲解：
①除了利用微积分基本定理，还可以利用类似于曲边梯形面积的求解思想“以直代曲”——即“分割、近似代替、求和、取极限”的处理模式来求解变力做功、变速直线运动的距离等问题。不过此方法的过程比较复杂、易错；而且，有些场合中此法实施起来很困难。
温馨提示：利用导数求解函数问题(尤其是函数压轴大题)时，除了夯实导数的基础之外，还需要夯实已学过的各种常见函数的概念、性质、基本问题及其一般解法等基础知识与基本技能——可参考“轻快学习课堂”中的函数有关资料：
成体系，高中数学《集合与函数》所有图文与视频的清单，一目了然
这份成体系的图文资料清单，可助你学好高中数学《三角函数》模块
